Fonctions : Représentation graphique

L’utilité

Voici un mémo pour comprendre les représentations graphiques de fonctions et pour toujours savoir ce qui est sur l’abscisse et ce qui est sur l’ordonnée.

Lorsque l’on découvre la notion de fonction (souvent en seconde), une bonne façon de comprendre est d’adopter une vision graphique. Il suffit de savoir où se trouvent sur le graphique, les objets dont on parle, que ce soit des nombres, des intervalles, ou autres.
Une des difficultés, c’est de bien comprendre ce qui correspond sur le graphique aux abscisses (les x) et ce qui correspond aux ordonnées ( les y ).
Inverser les deux est pour le moins inconfortable et donne l’impression de ne plus rien comprendre.

Le principe

Considérons la simple fonction affine f(x) = x – 1.
Calculons f(3) :
f(3) = 3 – 1 = 2
Cela nous donne les coordonnées d’un point de la courbe : M ( 3 ; 2 )
(Pour obtenir la courbe entière il faudrait aussi calculer f(1) , f(10), f(15654) … et f de tous les nombres pour avoir tous les points de la courbe …)
Pour f(3), imaginons un rayon lumineux partant de 3, sur l’axe des x, menant à 2, sur l’axe des y pour former l’image.
Cliquez sur l’image ci-dessous pour l’agrandir.

Sur l’axe des x ou sur l’axe des y ?

Voyons une première phrase courante:

“f(x) = x – 1”

x se lit sur l’axe des x.
f(x) se lit sur l’axe des y.
x – 1 se lit ici sur l’axe des y puisque c’est la valeur de f(x).
f est la fonction toute entière; elle ne peut se lire sur un axe comme un simple nombre. Sa représentation graphique est la courbe toute entière (en rouge).

Voyons une autre phrase courante :

“La valeur de f en 3 est 2.”

en 3 Ce qui suit “en” lit sur l’axe des x
La ” valeur  “:  se lit sur l’axe des y

Avec une fonction non monotone

Un exemple moins simple :

La fonction f tour à tour croissante et décroissante, on dit qu’elle est non monotone. Une fonction monotone est soi partout croissante, soi partout décroissante.

“Sur [ 1 ; 2 ] f est croissante.”

“Sur [ 1 ; 2 ]” :   Un intervalle qui suit “sur” se lit généralement sur l’axe des x.

“1 a trois antécédents, 1 est l’image de 2.”

Un antécédent est sur l’axe des x
Si l’on parle de l’antécédent de a, alors a est sur l’axe des y.
Ici les antécédents de 1 sont : -0.6 ; 2 et 3.7

Une image est sur l’axe des y.
Si l’on parle de l’image de b, alors b est sur l’axe des x.

Tableau de variation :

C’est celui de la fonction f précédente.
Les nombres apparaissant sur la ligne “x” se lisent sur l’axe des x (évidemment).
Les nombres apparaissant sur la ligne “f” se lisent sur l’axe des y.

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Mémo : Fonctions, Graphique, Abscisses et Ordonnées